Punkt $P$ jest punktem przecięcia przekątnych trapezu $ABCD$. Długość podstawy $CD$ jest o $2$ mniejsza od długości podstawy $AB$. Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym $CPD$ jest o $3$ mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie $APB$. Wykaż, że spełniony jest warunek $|DP|^2 + |CP|^2 - |CD|^2 = \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot |DP| \cdot |CP|$.
Odpowiedź: Niech $|AB| = a$, $|CD| = a - 2$. Trójkąty $APB$ i $CPD$ są podobne ze skalą $k = \frac{a-2}{a}$. Z twierdzenia sinusów: $R_1 = \frac{a}{2\sin\angle APB}$ i $R_2 = \frac{a-2}{2\sin\angle CPD}$. Ponieważ $\angle APB = \angle CPD$ (kąty wierzchołkowe), mamy $R_2 = R_1 \cdot \frac{a-2}{a}$. Z warunku $R_1 - R_2 = 3$ otrzymujemy $R_1 \cdot \frac{2}{a} = 3$, więc $R_1 = \frac{3a}{2}$. Stąd $\sin\angle CPD = \frac{1}{3}$ i $\cos\angle CPD = \frac{2\sqrt{2}}{3}$. Z tw. cosinusów: $|CD|^2 = |DP|^2 + |CP|^2 - 2|DP||CP|\cos\angle CPD$, co daje tezę.