Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$, $b$ prawdziwa jest nierówność $\frac{1}{2a} + \frac{1}{2b} \geq \frac{2}{a+b}$.
Odpowiedź: Należy wykazać, że $\frac{a+b}{2ab} \geq \frac{2}{a+b}$ dla $a, b > 0$, czyli $a^2 + 2ab + b^2 \geq 4ab$, co jest równoważne $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$, czyli $(a-b)^2 \geq 0$.