Udowodnij, ze dla kazdej liczby calkowitej $k$ i dla kazdej liczby calkowitej $m$ liczba $k^3 m - km^3$ jest podzielna przez $6$.
Odpowiedź: Dowod: $k^3 m - km^3 = km(k^2 - m^2) = km(k - m)(k + m)$. Iloczyn trzech kolejnych czynnikow $km(k-m)(k+m)$ jest podzielny zarowno przez $2$ jak i przez $3$, wiec jest podzielny przez $6$. Podzielnosc przez $2$: sposrod czterech czynnikow $k$, $m$, $k-m$, $k+m$ co najmniej jeden jest parzysty. Podzielnosc przez $3$: sposrod $k$, $m$, $k-m$ co najmniej jeden jest podzielny przez $3$ (rozpatrujemy reszty z dzielenia $k$ i $m$ przez $3$).