Ciąg $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto $a_1 = 675$ i $a_{22} = \frac{5}{4} a_{23} + \frac{1}{5} a_{21}$. Ciąg $(b_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(b_n)$. Ponadto $a_3 = b_4$. Oblicz $b_1$.
Odpowiedź: Niech $q$ będzie ilorazem ciągu $(a_n)$. Z warunku $a_{22} = \frac{5}{4}a_{23} + \frac{1}{5}a_{21}$: $a_1 q^{21} = \frac{5}{4}a_1 q^{22} + \frac{1}{5}a_1 q^{20}$. Dzielimy przez $a_1 q^{20}$: $q = \frac{5}{4}q^2 + \frac{1}{5}$, czyli $25q^2 - 20q + 4 = 0$, $(5q - 2)^2 = 0$, $q = \frac{2}{5}$. Suma ciągu geometrycznego: $S = \frac{675}{1 - \frac{2}{5}} = 1125$. Ponadto $a_3 = 675 \cdot \frac{4}{25} = 108 = b_4$. Suma arytmetycznego: $S_{25} = 25b_{13} = 1125$, więc $b_{13} = 45$. Z $b_4 = 108$ i $b_{13} = 45$: $r = \frac{45 - 108}{9} = -7$. Stąd $b_1 = b_4 - 3r = 108 + 21 = 129$.