Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym $18$.
a) Wykaż, że pole $P$ każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości $b$ ramienia, wyraża się wzorem $P(b) = \frac{(18 - 2b) \cdot \sqrt{18b - 81}}{2}$.
b) Wyznacz dziedzinę funkcji $P$.
c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.
Odpowiedź: a) Podstawa $a = 18 - 2b$. Wysokość na podstawę: $h = \sqrt{b^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{b^2 - (9-b)^2} = \sqrt{18b - 81}$. Pole: $P = \frac{a \cdot h}{2} = \frac{(18 - 2b)\sqrt{18b - 81}}{2}$.
b) Warunki: $18b - 81 \geq 0 \Rightarrow b \geq \frac{9}{2}$; $a > 0 \Rightarrow b < 9$; nierówność trójkąta $2b > a$: $2b > 18 - 2b \Rightarrow b > \frac{9}{2}$. Dziedzina: $b \in (\frac{9}{2}, 9)$.
c) Maksymalizujemy $P^2(b) = \frac{(18-2b)^2(18b-81)}{4}$. Niech $g(b) = (18-2b)^2(18b-81)$. $g'(b) = 2(18-2b)(-2)(18b-81) + (18-2b)^2 \cdot 18 = (18-2b)[-4(18b-81) + 18(18-2b)] = (18-2b)(-72b + 324 + 324 - 36b) = (18-2b)(648 - 108b) = 0$. Stąd $b = 9$ (wykluczone) lub $b = 6$. Dla $b = 6$: $a = 6$, trójkąt równoboczny o boku $6$. Pole: $P(6) = \frac{6\sqrt{27}}{2} = 9\sqrt{3}$.