Punkt $A = (-3, 2)$ jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC| = |BC|$. Pole tego trójkąta jest równe $15$. Bok $BC$ zawarty jest w prostej o równaniu $y = x - 1$. Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ tego trójkąta.
Odpowiedź: Prosta $BC$: $y = x - 1$, czyli $x - y - 1 = 0$. Odległość $A$ od prostej $BC$: $d = \frac{|-3 - 2 - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$. Pole: $P = \frac{1}{2}|BC| \cdot d = 15$, więc $|BC| = \frac{30}{3\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$. Rzut $A$ na prostą $BC$: $M = (0, -1)$ (środek $BC$, bo $|AC| = |BC|$ -- trójkąt równoramienny, więc $C$ leży na $BC$ a $M$ jest spustem wysokości). Ponieważ $|AC| = |BC|$, wysokość z $C$ nie jest tu poprawna -- korzystamy z tego, że $M$ jest rzutem $A$ na $BC$ i jednocześnie środkiem $BC$. Wektor kierunkowy prostej $BC$: $(1, 1)$. $B = M - \frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{(1,1)}{\sqrt{2}} = (0 - \frac{5}{2}, -1 - \frac{5}{2}) = (-\frac{5}{2}, -\frac{7}{2})$, $C = (\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$. Sprawdzenie: $|AC| = |BC|$ -- $|AC| = \sqrt{(\frac{5}{2}+3)^2 + (\frac{3}{2}-2)^2} = \sqrt{\frac{121}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{122}{4}}$. Należy zweryfikować oba rozwiązania. Odpowiedź: $B = (-\frac{5}{2}, -\frac{7}{2}),\ C = (\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$ lub $B = (\frac{5}{2}, \frac{3}{2}),\ C = (-\frac{5}{2}, -\frac{7}{2})$.