Dany jest graniastosłup prosty $ABCDEFGH$ o podstawie prostokątnej $ABCD$. Przekątne $AH$ i $AF$ ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze $\alpha$ takiej, że $\sin \alpha = \frac{12}{13}$. Pole trójkąta $AFH$ jest równe $26{,}4$. Oblicz wysokość $h$ tego graniastosłupa.
Odpowiedź: Niech $|AD| = a$, $|AB| = b$, $h$ -- wysokość graniastosłupa. Wówczas $|AH| = \sqrt{a^2 + h^2}$ i $|AF| = \sqrt{b^2 + h^2}$. Kąt $\alpha$ jest kątem $\angle HAF$. Pole trójkąta $AFH$: $P = \frac{1}{2}|AH||AF|\sin\alpha = 26{,}4$, czyli $|AH||AF| = \frac{2 \cdot 26{,}4}{\frac{12}{13}} = 57{,}2$. Ponieważ $\cos\alpha = \frac{5}{13}$ i $\vec{AH} \cdot \vec{AF} = h^2$, mamy $h^2 = |AH||AF|\cos\alpha = 57{,}2 \cdot \frac{5}{13} = 22$. Zatem $h = \sqrt{22}$.