Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2 - (m+1)x + m = 0$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$ oraz $x_2$, spełniające warunki: $x_1 \neq 0$, $x_2 \neq 0$ oraz $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + 2 = \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$.
Odpowiedź: Z wzorów Viete'a: $x_1 + x_2 = m + 1$ i $x_1 x_2 = m$. Warunek: $\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} + 2 = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 x_2)^2} = \frac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1 x_2}{(x_1 x_2)^2}$. Podstawiając: $\frac{m+1}{m} + 2 = \frac{(m+1)^2 - 2m}{m^2} = \frac{m^2+1}{m^2}$. Mnożymy przez $m^2$: $m(m+1) + 2m^2 = m^2 + 1$, $m^2 + m + 2m^2 = m^2 + 1$, $2m^2 + m - 1 = 0$, $(2m - 1)(m + 1) = 0$. Stąd $m = \frac{1}{2}$ lub $m = -1$. Sprawdzamy: $\Delta > 0$, $m \neq 0$, $x_1 \neq x_2$. Dla $m = -1$: $\Delta = 0$ (odrzucamy). Odpowiedź: $m = \frac{1}{2}$.