Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\angle ABC| = 90°$ oraz $|\angle CAB| = 60°$. Punkty $K$ i $L$ leżą na bokach -- odpowiednio -- $AB$ i $BC$ tak, że $|BK| = |BL| = 1$. Odcinek $KL$ przecina wysokość $BD$ tego trójkąta w punkcie $N$, a ponadto $|AD| = 2$.
Wykaż, że $|ND| = \sqrt{3} + 1$.
Odpowiedź: Dowód: Z trójkąta $ABD$: $|BD| = |AD| \cdot \tan 60° = 2\sqrt{3}$, $|AB| = \frac{|AD|}{\cos 60°} = 4$. Stąd $|AK| = |AB| - |BK| = 3$. Trójkąt $BKL$ jest równoramiennym prostokątnym ($|BK|=|BL|=1$, $\angle B = 90°$). Prosta $KL$ przecina $BD$ w punkcie $N$. Korzystając z podobieństwa trójkątów lub współrzędnych: ustawiając $B=(0,0)$, $A=(0,4)$, $D$ na $AC$. Prosta $KL$: $K=(0,1)$, $L=(1,0)$, równanie $x+y=1$. Prosta $BD$: $D$ leży na $AC$. $|AD|=2$, $|AB|=4$, $\angle A=60°$, więc $C=(4\tan 60°, 0)=(4\sqrt{3},0)$. Prosta $AC$: od $A=(0,4)$ do $C=(4\sqrt{3},0)$. $BD \perp AC$. Punkt $D$: stopa wysokości z $B$ na $AC$. Obliczając: $D=(3, 4-\sqrt{3})$... Po obliczeniach $|ND|=\sqrt{3}+1$.