Liczby rzeczywiste $x$ oraz $y$ spełniają jednocześnie równanie $x + y = 4$ i nierówność $x^3 - x^2 y \leq xy^2 - y^3$.
Wykaż, że $x = 2$ oraz $y = 2$.
Odpowiedź: Dowód: $x^3 - x^2 y \leq xy^2 - y^3$ przekształcamy do $x^2(x-y) \leq y^2(x-y)$, czyli $(x-y)(x^2-y^2) \leq 0$, tj. $(x-y)^2(x+y) \leq 0$. Ponieważ $x+y=4>0$, mamy $(x-y)^2 \leq 0$, a ponieważ $(x-y)^2 \geq 0$, to $(x-y)^2 = 0$, więc $x = y$. Z równania $x+y=4$ dostajemy $x = y = 2$.