Wykaz, ze dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych $x$ i $y$ takich, ze $x^2 + y^2 = 2$, prawdziwa jest nierownosc $x + y \leq 2$.
Odpowiedź: Dowod: Z nierownosci Cauchy'ego-Schwarza lub z faktu, ze $(x - y)^2 \geq 0$, wiec $x^2 + y^2 \geq 2xy$, czyli $2 \geq 2xy$, a zatem $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 2 + 2xy \leq 2 + 2 = 4$. Stad $x + y \leq 2$.