W trojkacie ostrokatnym $ABC$ bok $AB$ ma dlugosc $c$, dlugosc boku $BC$ jest rowna $a$ oraz $\angle ABC = \beta$. Dwusieczna kata $ABC$ przecina bok $AC$ trojkata w punkcie $E$. Wykaz, ze dlugosc odcinka $BE$ jest rowna $\frac{2ac \cdot \cos \frac{\beta}{2}}{a + c}$.
Odpowiedź: Dowod: Pole trojkata $ABC$ mozna wyrazic jako sume pol trojkatow $ABE$ i $CBE$: $\frac{1}{2}ac\sin\beta = \frac{1}{2}c \cdot BE \cdot \sin\frac{\beta}{2} + \frac{1}{2}a \cdot BE \cdot \sin\frac{\beta}{2}$. Stad $ac\sin\beta = BE(a+c)\sin\frac{\beta}{2}$. Poniewaz $\sin\beta = 2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}$, otrzymujemy $BE = \frac{2ac\cos\frac{\beta}{2}}{a+c}$.